Tam giác Pascal

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong các Hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của x + y {\displaystyle x+y} :

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 . {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của x + y {\displaystyle x+y} tương ứng với các hàng sau:

( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 , ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 , ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 , ( x + y ) 6 = x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 x y 5 + y 6 , ( x + y ) 7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7 . {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}

Chú ý rằng:

1. Lũy thừa của x {\displaystyle x} giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ( x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} ), giá trị bắt đầu là n {\displaystyle n} (n trong ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} .)
2. Lũy thừa của y {\displaystyle y} tăng lên bắt đầu từ 0 ( y 0 = 1 {\displaystyle y^{0}=1} ) cho tới khi đạt đến n {\displaystyle n} ( n {\displaystyle n} trong ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} .)
3. Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
4. Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng 2 n {\displaystyle 2^{n}} .
5. Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng n + 1 {\displaystyle n+1} .

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

( x + 2 ) 3 = x 3 + 3 x 2 ( 2 ) + 3 x ( 2 ) 2 + 2 3 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8. {\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

( x − y ) 3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2 − y 3 . {\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!}